有理数是什么意思举个例子，有理数是什么意思举个例子二年级

永远是哪一天，它是具体的某一天吗？如果有永远，那么它有第二天吗？

这是无穷大要回答的问题。

集合论是一个非常悲哀的数学分支，从所属分类来说，它是逻辑学下面数理逻辑的一个分支；然而，从内容来说，它是是实实在在的数学分支，只是因为研究手段是逻辑学所以才被划归为逻辑分支。

初级的集合论既简单友好又趣味十足，然而普及率实在是低得有些看不过去，你要不是专门去学，除了实变函数和拓扑学能涉及一些，其它的真是就是讲讲最最基础的概念，给人一种错觉就是：数学讲集合是一种惯例，然而集合的存在好像是为了让数学的后续教学不那么难以展开，毕竟集合简单的就像1+1，你学集合的“包含”和“属于”肯定要比学极限的魏尔斯特拉斯定义【】要轻松的多的多！

集合论是一个专门的数学分支，它研究的是无穷大的性质。

集合论的诞生于一个定理：实数集的元素个数比自然数集的要多！

你应该能反应过来，这两个集合都是无限集合，它们不一样多意味着什么！

没错，无穷量是可以比较多少的，不是所有的无穷量都一样多。相比之下，有些无穷会显得更加“无穷”！

注意，我们说的比较不是数学分析里用极限之比进行的比较，那里的“高阶无穷大”、“高阶无穷小”都是变化趋势的“速度”的衡量——谁更加快速地向无穷大(无穷小)变化。这里比较的是两个无穷所描述的那个数量的多少。

很多文章、视频都介绍了实数集和自然数集的比较，我不重复了。我说一些不太常说的东西。

你能给出一个这样的数的集合吗，它有无穷个元素且一个挨一个按从小到大排列，但是它有一个最大元。

一个挨一个的意思就是两个元素之间没有其它同类元素。你可以自己想一想。

一般来说你是做不到的，因为有理数是稠密的，它做不到一个挨一个，实数就更不用说了，人家是连续的，自然也稠密。自然数和整数是一个挨一个，但是它们是无界的【没有最大元】。

我们需要这样的集合，它就是永远之后的那一天！

我们先看看这个问题：1+2+3+…..=？

它肯定不等于，发散级数的任何结论都要小心，无论得出这个结果的是欧拉还是我。

它也一定不等于你知道的任何实数，因为每个实数都是表征有限量的，这个求和式是一个无穷量。复数和四元数就更不用想了，它们连大小比较都没有。

在大众的常识里，这个结果就是。但在集合论眼里，这太糊弄了。

集合论告诉我们这个结果叫。

它是什么？

我们有，N是自然数集。

啊？你是说求和的结果是自然数集合？

是的。

在集合论我们赋予自然数以集合的含义，然后定义序关系：，例如1＜2，所以1∈2；所有自然数都∈N，所以它们都＜N。所以N是一个“数”！！！

我们叫它诺依曼序数【简称序数】，这是约翰·冯·诺依曼给出的。N作为序数的符号就是。

序数不表征“个数”它只是表征数的一种排序，序数序数，有先后次序的数。自然数是最自然是序数。一群学生在班级门口，随机给他们每个人一个自然数号码，让它们根据号码的大小依次排列然后按顺序进入班级，拿5号和拿6号的同学没什么区别，6号同学不比5号同学多什么，数字只是作为先后顺序的区分。

然而，这种区分的根本是数的大小！换句话说，对于自然数，“大小”就是“先后”，反之亦然！但是对于无穷来说不是。

你可能听过说自然数集合的元素个数是一个叫阿列夫零的东西，没错，我的头条头像就是它：。集合论之父格奥尔格·康托尔用希伯来文的第一个字母阿列夫来为他的“新数字”赋予记号，这预示着这些数是一个新的开始。

它和什么区别？

我们有。

叫可数无穷。对于自然数集合，当我们强调它是一个集合时，我们用N；当我们强调它是序数时，它是；当我们强调它是作为元素个数的无穷时，它是。

传说中的三位一体就是自然数集合！

集合论里，我们管“元素个数”叫基数。基数，这是整个集合论研究的核心，是人类对于无穷大认知的全部。

基数和序数什么关系？

序数理论是基数理论的基础，所有的基数都是序数，但是反之不然。基数反映的是数字计数的特点，就是我们常说的“个数”，序数反映的是数字排序的特点，即先后顺序。

数有这样的性质：个任意有限数相加，其和还是。全体自然之和只是这个结论的特例。

任意有限数指的是在自然数范围取值【有限集合的元素个数都是自然数】。你可能会有疑问：那有理数、无理数那些表征有限量的数都取不到，这种求和能体现无穷的性质吗？

能，因为自然数是无界的，或者按实数的性质叫阿基米德原理：对于任意是实数a，都存在一个自然数n，使得n＞a。所以，从数量关系上说，你只要给定任意一个实数，我都能找到一个自然数比你这个实数大，那么我选这个更大的自然数去参与求和，虽然参与的不是你选定的这个实数，但是从数量的绝对值上来说只能多不会少，因此本质上并不影响对无穷性质的描述。

现在来看看我们的一开始说的那个集合——有最大元且一个挨一个的无穷集。根据前面的内容，每个自然数都是的元素，那么，它显然不是那个集合。然而，2是紧挨着1之后的那个序数，预示着每个序数后面都一个紧挨着它的序数，这话是真的！

那么作为序数，挨着它的下一个数是什么？

是。

就像1+1=2,2+1=3，n后面紧挨着它的就是n+1。那跟那个集合有什么关系？

因为我不想太涉及集合的构造，对于大众它们可能过于枯燥，远没有无穷本身的性质有趣，所以我尽量避开集合的构造细节。这里我只说一句，n+1=n∪{n}，即n把自己作为一个元素形成一个单元素集合，然后用这个集合与n中其它的元取并集就是n+1。这个式子对于所有自然数都好用，你可以自己看看每个自然数【从0开始，0=?】都是用什么集合定义的。n可以取，所以有

因为每个自然数都∈，且，所以每个自然数都＜。又因为任意两个相邻的自然数之间没有其它自然数，所以就是我们需要的集合。

人生不过百年，没有永远，但是我们经常在表达中使用这个词，如果是永远，那么就是永远之后的那一天。

附：

1.从排序的角度来看，有限和无限的区别在于：对于有限，大小即先后；对于无限，大小是大小，先后是先后。有限的性质很明显，不用多说；对于无限，我们可以指着一个序数问：它的作为集合的基数是多少？的基数显然和一样，因为对于无穷量来说，再添加任意有限量，无穷量本身不改变。只比多一个元素，所以它们的基数都是。这就无穷的性质：先后不同的可能有相同的大小。这对于有限量是绝不可能的。

2.你可能会好奇，中是最大元素，那么它的前一个元素是什么？

它没有前一个元素，换句话说没有任何自然数，其后面紧挨着的元素是。如果有一个自然数s，s+1=,那么根据自然数的性质——若n是自然数，则n+1也是自然数——就是自然数，即是一个有限量。矛盾。

这种没有前一个序数的序数叫极限序数，所有的基数都是极限序数！【0也没有前元，它是极限序数，但是我们说的是表达无穷量的序数，0是有限序数】问题是反过来也成立吗？——极限序数都是基数吗？不，由知是极限序数，但是它不是基数，它的基数也是。一个序数是基数当且仅当：任何在它前面的序数，其作为集合时的元素个数少于作为集合时的元素个数。任意自然数作为集合其元素个数都少于，且小于的序数只有全体自然数，所以是基数，即。

............试读结束............

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